Глава 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

2.1. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОЙ' ФУНКЦИИ [8, стр. 36]

Пусть скалярная функция φ(x, y, z) определена во всем трёхмерном пространстве декартовой системы координат (рис.2.1), и представляет собой одну из изменяющихся физических величин: плот­ность, температуру, потенциал, относительную диэлектрическую про­ницаемость, абсолютный показатель преломления и т.д.

Набросок 2.1

Изменение φ(x, y, z) зависимо от координат зададим Глава 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ в виде личных производных

Если единичные направляющие векторы координатных осей , можно ввести вектор [1]

(2.1)

который именуют ГРАДИЕНТОМ СКАЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ φ(x, y, z). Согласно (2.1) производные по x , y, z от φ имеют смысл проекций на координатные оси, т.е.:

Введем векторный дифференциальный оператор ГАМИЛЬТОНА , (то же самое, что НАБЛА - ОПЕРАТОР):

(2.2)

При помощи (2.2) градиент можно Глава 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ представить в операторной форме:

, (2.3)

Из понятия о градиенте следует, что он охарактеризовывает быстро­ту конфигурации скалярной функции зависимо от координат x, y, z. Направление вектора указывает направление БЫСТРЕЙШЕГО воз­растания скалярной функции ( ).

ПОТОК ВЕКТОРА

Построим простую площадку , совмещенную с на­чалом вектора (рис. 2.2) [8, стр. 37-40].

Набросок 2.2

Восстановим к площадке вектор ЕДИНИЧНОЙ Глава 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ НОРМАЛИ . Спро­ецируем на продолжение . Согласно рисунку 2.2,

, (2.4)

Так как - единичный вектор,

численно =

, (2.5)

где - условный вектор, модуль которого численно равен пло­щади простой площадки , а направление совпадает с век­тором единичной нормали.

Умножим на СКАЛЯРНО:

. (2.6)

Приобретенное произведение обычно обозначают и именуют простым потоком вектора через площадку . Таким макаром, из (2.4), (2.5) и Глава 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ (2.6) следует, что простый поток вектора может быть пред­ставлен в одной из 3-х форм записи:

. (2.7)

Согласно (2.7), поток вектора является скалярной (алгебраической) величиной. Разумеется, что >0, если и совпа­дают по направлению ( ). Если и ориентированы в различные стороны ( ), <0. Поток максимален по модулю при и . При , и = 0.

Заметим, что направление относительно условно
и Глава 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ могло быть выбрано Обратным тому, которое изображено на рисунке 2.2. Но для ЗАМКНУТЫХ поверхностей принято строить по направлению ОТ ЦЕНТРА поверхности НАРУЖУ (ортогональ­но простой площадке , принадлежащей поверхности). Такие нормали к поверхностям обычно именуют "ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ".

ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРА

Зададим поле вектора , определенное в хоть какой точке места x, y, z, набросок Глава 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 2.3.

Окружим точку " " в пространстве замкнутой воображаемой поверх­ностью с объемом и площадью .

Простый поток вектора через площадку , принад­лежащую поверхности определяется формулой (2.7). Поток вектора через всю замкнутую поверхность получим интегрированием формулы (2.7); [8, стр. 40-42]:

. (2.8)

Набросок 2.3

Начнем уменьшать объем , умеренно "стягивая" его к точке " ". Поток станет убывать, и при , , отношение ( ) будет стремиться к некому Глава 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ лимиту

, (2.9)

который именуют ДИВЕРГЕНЦИЕЙ вектора в точке " ".

Физический смысл дивергенции вектора заключается в последующем:

1. Если скалярная функция >0, в точке " ", набросок 2.3 существует источник поля вектора .

2. Если <0 , в точке " " имеет место "СТОК" вектор­ного поля.

3. При = 0 - в точке " " отсутствуют как источники, так и стоки, поля (или число источников равно Глава 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ числу схожих им "стоков").

Согласно (2.9)

. (2.10)

В трехмерной системе координат поток простого объема можно представить в виде суммы 3-х элементар­ных потоков повдоль осей , , :

. (2.11)

Простые вычисления слагаемых в правой части равенства (2.11), [8, стр. 40-42] дают последующие значения:

. (2.12)

Подстановка (2.12) в (2.11) позволяет представить с учетом (2.10) в последующем виде:

, (2.13)

где , , - проекции вектора на координатные оси, при Глава 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ условии, что начало вектора находится в точке " " (рис. 2.3). Перемножим вектор

и векторный дифференциальный оператор Гамильтона скалярно.

По правилу скалярного произведения:

,

как следует,

. (2.14)

Из сопоставления (2.13) и (2.14) видно, что дивергенция вектора может быть записана в виде:

. (2.15)


glava-2-ponyatie-psihologicheskoj-podgotovki-voennosluzhashih.html
glava-2-poryadok-naznacheniya-pensij-federalnim-gosudarstvennim-grazhdanskim-sluzhashim.html
glava-2-posadka-b-a-bublik-v-t-gridchin.html